Que son los Splines

¿QUE ES UN SPLINE?

Spline es una curva definida a trozos mediante polinomios.
Se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado a la vez que se evitan las oscilaciones, que en la mayoría de las aplicaciones resultan indeseables, que aparecen al interpolar mediante polinomios de grado elevado.
Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador.

El término "spline" hace referencia a una amplia clase de funciones que son utilizadas en aplicaciones que requieren la interpolación de datos, y/o un alisado en la interpolación. Los splines son utilizados para la interpolación y/o alisado de datos de una o varias dimensiones. Las funciones para la interpolación por splines normalmente se determinan como minimizadores de la aspereza sometidas a una serie de requisitos limitadores.
Interpolación Segmentaria Lineal

Este es el caso más sencillo. En él, vamos a interpolar una función f(x) de la que se nos dan un número N de pares (x,f(x)) por los que tendrá que pasar nuestra función polinómica P(x). Esta serie de funciones nuestras van a ser lineales, esto es, con grado 1: de la forma P(x) = ax + b.

Interpolación Segmentaria Lineal

Definiremos una de estas funciones por cada par de puntos adyacentes, hasta un total de (N-1) funciones, haciéndolas pasar obligatoriamente por los puntos que van a determinarlas, es decir, la función P(x) será el conjunto de segmentos que unen nodos consecutivos; es por ello que nuestra función será continua en dichos puntos, pero no derivable en general.

Ejemplo : Interpolar con splines f(x) = 1 / x ,, en los puntos en los que x vale 1, 2 y 4
f(1) = 1
f(2) = 0.5
f(4) = 0.25
P1(x) = ax + b --> 1 = a + b, 0.5 = 2a + b.
(1) 1=a+b
(2) 0.5=2a+b
De uno
a=1-b (3)
Reemplazamos (3) en (2) y tenemos
0.5=2(1-b)+b
luego
b=1.5
Reemplazando el valor de (b) en (1)
a=-0.5
a = - 0.5, b = 1.5
Luego P1(x) = - 0.5x + 1.5
P2(x) = ax + b --> 0.5 = 2a + b,, 0.25 = 4a + b
a = - 0.125, b = 0.75
Luego P2(x) = - 0.125x + 0.75