Para hacer más firme el entendimiento, escribimos la definición correspondiente a este caso (k=3).
Dados los 
datos:
Una spline cúbica que interpola estos datos, es una función 
definida como sigue :
donde cada 
es un polinomio cúbico; 
, para toda 
y tal que 
tiene primera y segunda derivadas contínuas en 
.
Ejemplo 1.
Interpolar los siguientes datos mediante una spline cúbica :
Solución.
Definimos un polinomio cúbico en cada uno de los intervalos que se forman:
A continuación, hacemos que se cumpla la condición de que la spline debe pasar por los puntos dados en la tabla. Así, tenemos que:
Ahora calculamos la primera derivada de 
:
Al igual que en el caso de las splines cuadráticas, se presentan ecuaciones que pueden presentar discontinuidad en los cambios de intervalo; las posibles discontinuidades son los puntos donde se cambia de intervalo, en este caso 
. Para evitar esta discontinuidad, evaluamos 
en los dos polinomios e igualamos:
o lo que es lo mismo:
Análogamenete procedemos con la segunda derivada :
Para lograr que 
sea continua :
En este punto contamos con 6 ecuaciones y 8 incognitas, por lo tanto tenemos 2 grados de libertad; en general, se agregan las siguientes 2 condiciones:
De lo cual vamos a obtener :
Con lo cual, hemos completado un juego de 8 ecuaciones vs. 8 incógnitas, el cual es el siguiente:
Cuya forma matricial es la siguiente :
Usando Mathematica, obtenemos la siguiente solución:
Sustituyendo estos valores en nuestra función inicial, vemos que la spline cúbica para la tabla de datos dada, queda definida como sigue:
Mostramos la gráfica correspondiente a este ejercicio, creada tambien en Mathematica.
 |
Obsérvese la finura con la que se unen los polinomios cúbicos que conforman a la spline. Prácticamente ni se nota que se trata de dos polinomios diferentes!. Esto es debido a las condiciones que se impusieron sobre las derivadas de la función. Esta finura casi artística, es la que permite aplicar las splines cúbicas, para cuestiones como el diseño de letras por computadoras, o bien a problemas de aplicación donde la interpolación que se necesita es de un caracter bastante delicado, como podría tratarse de datos médicos sobre algún tipo de enfermedad.
Ejemplo 2.
Interpolar los siguientes datos utilizando splines cúbicas:
Solución.
Nuevamente, definimos un polinomio cúbico en cada uno de los intervalos:
Despues, hacemos que la spline pase por los puntos dados en la tabla. Así, tenemos que:
implica que,
implica que,
implica que,
Y finalmente 
implica que,
Enseguida, calculamos la primera derivada:
Vemos entonces, que las posibles discontinuidades de 
son 
y 
. Por lo tanto, para hacer que 
sea contínua, igualamos las ecuaciones correspondientes en ambos valores :
Ahora procedemos a calcular la segunda derivada:
Nuevamente, las posibles discontinuidades son 
y 
. Por lo tanto, para que 
sea contínua , se igualan las ecuaciones en ambos valores :
Finalmente, se agregan las condiciones de que la doble derivada se anule en los puntos inicial y final de la tabla. En este caso,
Con esto tenemos un juego de doce ecuaciones vs. doce incógnitas:
Este sistema tiene la siguiente forma matricial:
Usando Mathematica, obtenemos la solución :
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
Por lo tanto, la spline cúbica es:
Finalmente, mostramos la gráfica correspondiente (creada en Mathematica):
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