Interpolacion de Splines

Terminamos este capítulo, estudiando un tipo de interpolación que ha demostrado poseer una gran finura, y que inclusive es usado para el diseño por computadora, por ejemplo, de tipos de letra.

Esta interpolación se llama interpolación segmentaria o interpolación por splines. La idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar los datos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar nuestra interpolación.

Cabe mencionar que entre todas, las splines cúbicas han resultado ser las más adecuadas para aplicaciones como la mencionada anteriormente.

Así pues, podemos decir de manera informal, que una funcion spline está formada por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen entre si bajo ciertas condiciones de continuidad.

Definición. (Splines de grado k)

Dada nuestra tabla de datos,

donde suponemos que , y dado k un número entero positivo, una función de interpolación spline de grado k, para la tabla de datos, es una función tal que :

i) , para toda .

ii) es un polinomio de grado en cada subintervalo .

iii ) tiene derivada contínua hasta de orden en .

FUNCIONES SPLINES DE GRADO 1

Dados los puntos

Una función spline de grado 1 que interpole los datos es simplemente unir cada uno de los puntos mediante segmentos de recta, como sigue:

Claramente esta función cumple con las condiciones de la spline de grado 1. Así, tenemos que para ested caso:

donde:

i) es un polinomio de grado menor o igual que 1

ii) tiene derivada continua de orden k-1=0.

iii) , para .

Por lo tanto, la spline de grado 1 queda definida como :

donde es la diferencia dividida de Newton.