Complementando lo anterior!
Para aclarar bien la idea, veamos un ejemplo concreto, consideremos los siguientes datos :
Y procedamos a calcular la interpolación por splines de grado 2.
Primero que nada, vemos que se forman tres intervalos :
En cada uno de estos intervalos, debemos definir una función polinomial de grado 2, como sigue:
Primero, hacemos que la spline pase por los puntos de la tabla de datos. Es decir, se debe cumplir que:
Así, se forman las siguientes ecuaciones:
Hasta aquí, tenemos un total de 6 ecuaciones vs. 9 incógnitas.
El siguiente paso es manejar la existencia de las derivadas contínuas. En el caso de las splines de grado 2, necesitamos que la spline tenga derivada contínua de orden k-1=1, es decir, primera derivada continua.
Calculamos primero la primera derivada:
Vemos que esta derivada está formada por segmentos de rectas, que pudieran presentar discontinuidad en los cambios de intervalo. Es decir, las posibles discontinuidades son 
y 
. Por lo tanto para que 
sea contínua, se debe cumplir que:
o lo que es lo mismo,
También debe cumplirse que:
o lo que es lo mismo,
Así, tenemos un total de 8 ecuaciones vs. 9 incognitas; esto nos da un grado de libertad para elegir alguna de las incógnitas. Elegimos por simple conveniencia 
.
De esta forma, tenemos un total de 8 ecuaciones vs. 8 incógnitas. Estas son las siguientes:
Este sistema de ecuaciones tiene la siguiente forma matricial:
Usando Mathematica se obtiene la siguiente solución:
Sustituyendo estos valores (junto con 
), obtenemos la función spline cuadrática que interpola la tabla de datos dada:
La gráfica que se muestra a continuación, contiene tanto los puntos iniciales de la tabla de datos, así como la spline cuadrática. Esta gráfica se generó usando Mathematica.
El siguiente caso, que es el más importante en las aplicaciones, sigue exactamente los mismos pasos del ejemplo que acabamos de resolver, solamente que en vez de trabajar con polinomios cuadráticos, lo hace con polinomios cúbicos.
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